By Oliver Deiser
Das Buch, das nun in dritter, korrigierter Auflage vorliegt, behandelt die Basis-Resultate der Mengenlehre aus der Zeit Cantors und Zermelos, used to be etwa den Zeitraum von 1870 - 1930 abdeckt. Die Ideen dieser Zeit bilden das Herz der Disziplin und haben das heutige Bild der Mathematik entscheidend mit geprägt.
Ziel ist, die zentralen Konzepte und Probleme der Mengenlehre - Mächtigkeiten, Kardinalzahlen, Kontinuumsproblem, Wohlordnungen, transfinite Zahlen und transfinite Rekursion, mengentheoretische Untersuchungen von R - in ihrem Wesen begreifbar zu machen. Eine Axiomatik wird in Übereinstimmung mit der historischen Entwicklung erst dann eingeführt, wenn die Theorie bereits weit gediehen ist und nach einem stabilen Fundament verlangt. Schließlich wird die Axiomatik in einen formalen Rahmen eingebettet, was once Resultate über die Grenzen des Gebäudes ermöglicht (wie z.B. die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese). Das Buch wendet sich an Studenten und Dozenten der Mathematik, Informatik und Philosophie, an ambitionierte Schüler der Oberstufe, Lehrer und interessierte Laien. Es ist geeignet als Begleitlektüre zu den mathematischen Anfängervorlesungen und zu Vorlesungen über mathematische Logik, sowie zum Selbststudium. Vorausgesetzt wird lediglich eine gewisse Vertautheit mit den natürlichen und den reellen Zahlen.
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Die gleiche Notation verwenden wir später für Mengen, wo |M| die Mächtigkeit einer Menge bezeichnet. Dies ist aber ungefährlich. Sind x1 , …, xn reelle Zahlen, so bezeichnen wir mit min(x1 , …, xn ) die kleinste der Zahlen x1 , …, xn . Analog bezeichnet max(x1 , . . , xn ) die größte der Zahlen x1 , …, xn . So ist z. B. min(0, −1) = −1, max(2, 4, 3/2) = 4. Einfache Mengenbildungen Wir bezeichnen Mengen mit lateinischen, griechischen, Fraktur-, Skriptur-, usw. Buchstaben (z. B. a, b, N, M, γ, Γ, ᑾ, ᑛ, Ꮽ, ᏹ, …).
Zur Veranschaulichung sind Diagramme hilfreich ; zum (strengeren) Beweis kann man sich am Beweis von (iii) im Satz unten orientieren. Übung (Assoziativgesetze für Vereinigung und Durchschnitt) Seien a, b, c Mengen. Dann gilt: (i) (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c), (ii) (a ∩ b) ∩ c = a ∩ (b ∩ c). Wir können also Klammern oft weglassen. ((a1 ∪ a2 ) ∪ a3 ) ∪ … ∪ an − 1 ) ∪ an viel übersichtlicher als a = a1 ∪ … ∪ an . Dagegen ist die Differenzbildung nicht assoziativ, wie (iv) und (v) der vorangehenden Übung zeigen.
Weg Untersuchung der Intuition auf ihren mathematischen Gehalt. Der erste Weg Eine präzisierende Analyse des naiven Verständnisses der Begriffe Menge, „a ∈ b“, Mengenbildung, Eigenschaft führt fast zwangsläufig zur axiomatischen Mengenlehre, die in einer ebenso einfachen wie strengen Kunstsprache formuliert ist, der sogenannten Prädikatenlogik erster Stufe. Dieser Weg könnte etwa wie folgt verlaufen (historisch verlief die Sache auf dem zweiten Weg). Zunächst kann man die folgende Frage stellen: A .