By Bernd Kreußler, Gerhard Pfister (auth.)
Dieses Lehrbuch ist aus Vorlesungen entstanden, die von den Autoren für Studenten der Informatik des 1. Studienjahres gehalten wurden.
Die Konzeption dieses Lehrbuches unterscheidet sich von vielen anderen Mathematikbüchern vor allem in den folgenden drei Punkten:
* Jedes Kapitel beginnt mit konkreten, dem Leser vertrauten Begriffen oder Situationen. Davon ausgehend wird schrittweise abstrahiert bis hin zu den gebräuchlichen abstrakten Begriffen der modernen Mathematik.
* In jedem Kapitel werden viele interessante Situationen des Alltagslebens beschrieben, in denen die zuvor eingeführten abstrakten Begriffe und die bewiesenen Ergebnisse zum Einsatz kommen. Dabei wird auf Anwendungen eingegangen, die einen engen Bezug zur Informatik besitzen: Routenplaner, Google-Suche, Kryptographie, Codierungstheorie, Datenkompressionen, Hashtabellen und Sudoku.
* Das Kapitel über Mengenlehre ist am Ende des Buches zu finden. Es kann jederzeit unabhängig vom restlichen textual content gelesen werden.
Die drei Teile (Algebra, research, Diskrete Strukturen), die weitgehend voneinander unabhängig sind, sind so angelegt, dass sie im Wesentlichen einzeln verstanden werden können. Durch die Lösungen aller Übungsaufgaben ist das vorliegende Buch auch sehr intestine zum Selbststudium geeignet.
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31. F¨ ur jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H ist ker(f ) ⊂ G ein Normalteiler , denn f¨ ur a ∈ G, b ∈ ker(f ) ist f (a ∗ b ∗ a−1 ) = −1 −1 f (a) ∗ f (b) ∗ f (a) = f (a) ∗ f (a) = eH , also a ∗ b ∗ a−1 ∈ ker(f ) und somit a ∗ b = b′ ∗ a f¨ ur ein b′ ∈ ker(f ). 32 (Homomorphiesatz) Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus und G/ ker(f ) mit der von G vererbten Gruppenstruktur versehen. Dann ist die durch f¯ [a] := f (a) definierte Abbildung ein Isomorphismus f¯ : G/ ker(f ) −→ im(f ) . Beweis. 31 ist ker(f ) ⊂ G stets Normalteiler, also wird die Gruppenstruktur von G auf G/ ker(f ) vererbt.
Bk . ¨ Uber das korrekte Wort, welches uns als Empf¨anger des Wortes b1 b2 . . bk ja nicht wirklich bekannt ist, wissen wir lediglich, dass die Pr¨ ufgleichung 40 1 Zahlen k i=1 wi ai ≡ c mod n gilt. Als weitere Information k¨ onnen wir die Summe Deshalb kennen wir auch die Diskrepanz i=1 wi bi berechnen. k k δ := k i=1 wi (ai − bi ) ≡ c − wi bi mod n . i=1 Bei Vorliegen eines Einzelfehlers bzw. einer Transposition heißt das konkret: Einzelfehler: Wenn nur aj falsch ist, dann ist δ ≡ wj (aj − bj ) mod n; Transposition: Wenn bj+1 = aj und bj = aj+1 , ansonsten aber alles korrekt u ¨ bermittelt wurde, dann ist δ ≡ (wj − wj+1 ) · (aj − aj+1 ) mod n.
Mit welcher Ziffer endet die Zahl 999 ? 2 Restklassen 21 Die letzte Ziffer d einer Zahl a ∈ Z ist dadurch charakterisiert, dass 0 ≤ d ≤ 9 und dass es eine ganze Zahl k gibt, f¨ ur die a = 10k + d gilt. Daher ist d ≡ a mod 10. Da 9 ≡ −1 mod 10, erhalten wir 999 ≡ (−1)99 ≡ −1 mod 10. Da d = 9 die einzige Ziffer ist, die kongruent −1 modulo 10 ist, endet 999 auf 9. Es ist kein Problem, dies mit einem Taschenrechner nachzupr¨ ufen. 9 11 Wie sieht es jedoch bei 9(9 ) oder bei 9(10 ) aus? Da versagt eine direkte Rechnung mit einem gew¨ ohnlichen Taschenrechner.