By Kaczor W.J., Nowak M.T.

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Analysis of Reliability and Quality Control: Fracture Mechanics 1

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Ceci et (1) impliquent 0 < pn − αqn < q1n < ε pour n suffisamment n0 ∈ N∗ tel que n0 (pn − αqn ) ∈ ]a , b[. Soit maintenant t grand. Il existe donc ∈ [−1 , 1]. Il existe x strictement positif tel que t = sin x. On déduit des considérations précédentes qu’il existe des suites d’entiers strictement positifs {mn } et {kn } telles que x = lim (mn − 2πkn ). Par continuité de la fonction sinus, on a n→+∞ t = sin x = sin lim (mn − 2πkn ) n→+∞ = lim sin mn . n→+∞ On a donc prouvé que tout élément de l’intervalle [−1 , 1] est une valeur d’adhérence de l’ensemble {sin n : n ∈ N∗ }.

4. Soit {an } une suite bornée vérifiant la condition an+1 Montrer que la suite {an } est convergente. Indication : considérer la suite {an − 1 }. 2n−1 2. an − 21n , n ∈ N∗ . Chapitre II. 5. Prouver la convergence des suites : √ (a) an = −2 n + 1 1 1 √ + √ + ... + √ n 1 2 √ (b) bn = −2 n + 1 + ; 1 1 1 √ + √ + ... + √ . n 1 2 Indication : établir d’abord les inégalités 2 √ √ 1 1 1 n + 1 − 1 < √ + √ + . . + √ < 2 n, n 1 2 n ∈ N∗ . 6. Prouver que la suite {an } définie par a1 = 3 , 2 an = 3an−1 − 2 pour n 2 converge et trouver sa limite.

A) D’après l’inégalité de Cauchy, on a 2 n ak bk k=1 n = k=1 √ bk kak √ k 2 n n ka2k k=1 k=1 b2k . k 29 Chapitre I. Nombres réels (b) De même, n k=1 2 ak k 2 3 n k 2 ak = k k=1 n n k3 a2k 5 2 k=1 k=1 1 . 19. L’inégalité de Cauchy donne 2 n apk n p+q 2 = ak k=1 2 p−q 2 n n ap+q k ak k=1 k=1 ap−q k . 20. D’après l’inégalité de Cauchy, on a n n k=1 a2k 1 n a2k ×n= k=1 Donc, n n a2k k=1 1 ak k=1 = 1. k=1 avec égalité si seulement si ak = cherché est donc égal à 2 n 1 n pour tout k. Le minimum 1 n.

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