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Dass dies nicht ohne weiteres das Erwartete liefert, sieht man am K¨orper F2 , in dem damit 2 = 0 ist, was unseren Vorstellungen von den nat¨urlichen Zahlen widerspricht. Es stellt sich aber heraus, dass aufgrund der Anordnungs-Axiome innerhalb des K¨orpers der reellen Zahlen solche Pathologien nicht auftreten k¨onnen. Es sei N die kleinste Teilmenge von R mit folgenden Eigenschaften: i) 0 ∈ N , ii) x ∈ N ⇒ x + 1 ∈ N . N besteht also genau aus den Zahlen, die sich aus der 0 durch sukzessive Additionen von 1 erhalten lassen.

Ein K¨orper K, auf dem eine Abbildung K → R, x → |x|, definiert ist, so dass die in Satz 1 genannten Eigenschaften a), b), c) erf¨ullt sind, heißt bewerteter K¨orper. Es gibt auch nicht angeordnete bewertete K¨orper, wie den K¨orper der komplexen Zahlen, den wir in §13 untersuchen werden (dort erkl¨art sich auch der Name Dreiecks-Ungleichung). Bei der folgenden Ableitung weiterer Eigenschaften des Absolut-Betrages verwenden wir nur die Regeln a) bis c); sie sind damit in jedem bewerteten K¨orper g¨ultig.

K(k + 1) = n→∞ n+1 k=1 n Satz 6 (Unendliche geometrische Reihe). Die Reihe ∑∞ ur n=0 x konvergiert f¨ alle |x| < 1 mit dem Grenzwert ∞ 1 ∑ xn = 1 − x . n=0 Beweis. F¨ur die Partialsummen gilt nach §1, Satz 6 sn = n ∑ xk = k=0 1 − xn+1 . d. 10) Beispiele. F¨ur x = ± 12 erh¨alt man die beiden Formeln 1 1 1 1 1 = 2, 1+ + + + +... = 2 4 8 16 1 − 1/2 1 1 1 1 1 2 1− + − + ∓... = = . 2 4 8 16 1 + 1/2 3 § 4 Folgen, Grenzwerte 39 Satz 7 (Linearkombination konvergenter Reihen). Seien ∞ ∑ an n=0 ∞ und ∑ bn n=0 zwei konvergente Reihen reeller Zahlen und λ, µ ∈ R.