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CHAPTER 3. MECANIQUE DE HAMILTON 36 Mais la simplicit´e mˆeme des ´equations canoniques de Hamilton ∂H q˙k = ∂pk ∂H p˙ k = − ∂qk sugg`ere une m´ethode g´en´erale de r´esolution des probl`emes m´ecaniques pour des syst`emes dont les forces d´erivent d’un potentiel (mˆeme g´en´eralis´e). En effet, rechercher l’´evolution temporelle d’un syst`eme est ´equivalent, dans le formalisme hamiltonien, `a faire un changement de coordonn´ees (p, q) → (P, Q) dans l’espace des phases. Envisageons deux cas pour se convaincre de ceci.

Nous avons d´ej`a vu que la variation de p et q au cours du mouvement peut ˆetre consid´er´ee comme une transformation canonique. Donc, montrer que le volume V reste invariant par le flot hamiltonien, revient `a montrer que le volume est un invariant canonique. L’espace des phases ´etant un espace `a 2n dimensions, le produit de diff´erentielles dV = dq1 . . dqn dp1 . . dpn peut ˆetre consid´er´e comme un ´el´ement infinit´esimal de volume et le volume V s’´ecrit V = Pour n = 1, V est en fait une surface, tandis que pour n ≥ 2 V est un hypervolume.

On dit que ces cartes forment un atlas si elles poss`edent des zones de recouvrement, autrement dit si elles sont compatibles (les relations de passage Q(q, p, t) et P (q, p, t) de l’une `a l’autre doivent ˆetre diff´erentiables). Cet atlas sera dit symplectique si chacune de ces cartes correspond `a une transformation canonique, autrement dit si, sur chacune d’elles, la structure formelle des ´equations de Hamilton est pr´eserv´ee. D’apr`es ce que nous avons vu pr´ec´edemment, les cartes les plus appropri´ees sont celles o` u les coordonn´ees sont des invariants du syst`eme.