-00 Man kann sich leicht überlegen, daß in allen anderen Fällen (also Iq I > 1 und q = - 1) die Folge (qP) divergiert.

Jedenfalls "umgeben" sie xo im anschaulichen Sinne). 1. Sind U und V Umgehungen desselben Punktes xo, so ist auch U n V eine Umgebung von xo. 36 Mengen und Folgen Beweis. u enthält etwa die BI-Umgebung u•. (xo) u•• (xo). (xo) c U n V eine in U n V enthaltene e-Umgebung. 2. Zu je zwei verschiedenen Punkten x und y gibt es Umgebungen U von x und V von y mit leerem Durchschnitt. Beweis. Nach Voraussetzung ist e = Jy- xJ positiv. Wenn wir non U = U11; 2(x), V= U11;2(y) setzen, so ist U n V= 0. , und das ist unmöglich.

Das ist aber nach der Folgerung zum Satz von ARcHr- Das Axiom vom Dedekindschen Schnitt MEDES 29 nur möglich, wenn s2-2 s2-2 2 8 ~ 0 ~ ----aB ist und daher - s ist ja positiv s2 - 2 ~ 0 ~ s2 - 2; also: Die so gefundene positive Lösung der Gleichung x2 = 2, wir nennen sie V2, ist eindeutig bestimmt; ist t > 0 eine weitere Lösung, so ergibt sich nämlich + 0 = 2- 2 = s2- t2 = (s + + t) (s- t) und, da s t > 0 ist, s - t = 0. 6 gilt nicht für jeden geordneten Körper, wie der folgende Satz zeigt. 4. Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist.