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16). 13). Par d´efinition de I, on a un morphisme surjectif de faisceaux de OX -modules V ⊗ E ∗ → I → 0. En appliquant le foncteur π ∗ on obtient la suite exacte π ∗ (V ) ⊗ π ∗ (E ∗ ) → π ∗ (I) → 0. 2. R´esultant r´esiduel 19 Le faisceau d’id´eaux image inverse I˜ de I est en fait l’image de π ∗ (I) par l’application naturelle π ∗ (I) → OX˜ (cette application naturelle est ellemˆeme induite par l’inclusion I → OX ). On en d´eduit la surjectivit´e du morphisme π ∗ (V ) ⊗ π ∗ (E ∗ ) → I˜ → 0. En tensorisant ce morphisme par π ∗ (E), on peut voir π ∗ (V ) comme un sous˜ π ∗ (E) ⊗ I) ˜ puisque l’on obtient la suite exacte espace vectoriel de H 0 (X, π ∗ (V ) ⊗ OX˜ → π ∗ (E) ⊗ I˜ → 0, tel-00096815, version 1 - 20 Sep 2006 ˜ suite exacte qui montre par ailleurs que π ∗ (V ) engendre π ∗ (E) ⊗ I˜ sur X.

Dik )H k . . =ik Le calcul du degr´e du r´esultant r´esiduel est ainsi ramen´e `a celui de la classe de Segre de Z dans Pm . De nombreuses formules sont connues pour calculer une telle classe, notamment dans le cas o` u Z est une courbe ou une surface. Au cours de ce chapitre, nous en verrons quelques cas particuliers, notamment celui o` u Z est la cubique gauche. 2 B´ ezoutiens Dans cette section, nous allons relier le r´esultant r´esiduel d’un syst`eme d´efini sur un espace projectif au B´ezoutien.

VD ) est une base de E, (w1 , . . , wD ) est une base de F , vi ∈ I0 et wi ∈ I0 pour i > D. 2). Notons maintenant Cf0 = cij (f0 ) 1≤i,j≤D le bloc sup´erieur gauche de Bfv,w , et Mf0 = (mij )1≥i,j≥D la 0 matrice de multiplication par f0 dans la base (v1 , . . , vD ) de A0 . Modulo l’id´eal f1 ⊗ 1, . . , fm ⊗ 1 , nous avons   D Θf0 D cij (f0 )vi ⊗ wj ≡ (f0 ⊗ 1)Θ1 ≡ (f0 ⊗ 1)  ≡ i,j=1 i,j=1 D ≡ D D k,j=1 i=1 mki cij (1) vk ⊗ wj , cij (1)(f0 vi ) ⊗ wj ≡ i,j=1 cij (1)vi ⊗ wj  ce qui implique que Cf0 = Mf0 C1 .