Show description

III, A) . Soit S E un voisinage ouvert assez petit de s darts S pour qu'il existe une application analytique, gE : S E X U (Xs)s~ S (d@finition fondamentale). ) symkE(B) associ~e ~ la famille analytique La condition (s',z') g Y, si (s',z') g S E x f-1(U x B), est alors @quivalente ~ la condition pB(f(z')) ~ gE(s',Pu(f(z')) est analytique (*), oG PU et PB d@signent respectivement qui les projections de U x B sur U et B. Montrons que le sous-ensemble analytique Y de S x Z e s t ferm~ : si z ~ |Xsl , consid~rons une famille finie (Ei)iG I (o~ E i = (Ui,Bi,fi)) d'~cailles adapt~es X s telle que IXsl soit contenu dans l'ouvert U f[1(U i x B i) de Z (ce qui est posigI sible par compacit~ de IXs{).

En effet, ~ dire que l'on peut trouver induisant il existerait au voisinage en est de m~me pour DF(0) complexes = XlY 2, m est continue pas analytiquement de 0 dans r I sur ~ (si F analytique = 2z 3 - ZlX3/X I m au voisinage une forme lin@aire ' i = 1,2,3 telles de m). On aurait que pour tout une fonction de 0 sur ~ au voisinage pour b = c = 0 on obtient m sur de 0 il alors des constantes (a,b,c,d) ~ C 4 : ad = pl a2 + P2b 2 + P3ab + ql c2 + q2 d2 + q3cd + rlac + r2bd + r 3 En particulier analy- ; comme m est sur C 9 induisant de 0 dans C 9 induit m sur ~ par homog~n@it@ dire que m se pro- (ab+bc) 2 r 3 = 2, et pour a = d = 0 on obtient r 3 = 0 ce qui est absurde.

F(t)m, dt J t~W" (t-h-u(f(t))) : f g H(W,B) Le changement l(h) (dans Sm(CP)) : (112i~)n , u ~ G,~ , ~ . R de variable ~t'eC h e W' < r"-r', m ~tant un en- t' = t - h - u(f(t)) f [ ( i d - u @ f)-1 (t' + h ~ . J(id - u 9 f)[(id-u, f)-1(t'+h)~ 9 v~rifie d'un polydisque lzl ~ dt' ~D- n o~ C : (id - u @ f)(W"-h). distingu~ donne Montrons contenant que C est homotope dans C n - U ~t' = O~ au bord le point t' = 0 darts son int~lieur I, posons.. C z = (id - z 9 u @ f)(W"-h) ; soit t' ~ t i' = O. R ( r"-r' ce qui est absurde , si z e C z et supposons ; on en d~duit que que ; comme C I = C et C o = W" - h, le r~sul- tat est prouv~.