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7 entnehmen. Seien wieder x, y und x', y' die Koordinaten von P*, so sind jetzt x und y die Parallelprojektionen von OP auf der x-und y-Achse im Sinne von S. 9 und wieder gleich den analogen Projektionen des Streckenzuges OQ' P. Setzen wir insbesondere [vgl. I, § 5, (12)] Il(Q'P, x) = by', Il(OQ', x) = ax', Il(Q'P, y) = d y', Il(OQ', y) = c x', wo a, b, c, d die bezüglichen Projektionskonstanten sind, so ergibt sich nach (12) dy'. y = cx' by', x = ax' (16) + + Ganz analog findet sich mit analog bestimmten Projektionskonstanten x' = a' x (16a) + b' y, y'= c'x+ d'y, die Koordinaten sind also durch eine lineare Substitution miteinander verbunden.

Eine zu c' parallele Gerade von E wird in eine zu f' parallele Gerade, ihr unendlich ferner Punkt in den unendlich fernen Punkt von f' projiziert. Durch diese Projektion werden also alle unendlich fernen Punkte von E auf die Punkte von f', die unendlich ferne Gerade von E auf die Gerade f' projiziert. Jetzt erkennen wir, daß durch die Einführung der unendlich fernen Punkte und der unendlich fernen Geraden einer Ebene ausnahmslos in dieser Ebene die beiden fundamentalen Regeln gelten: zwei voneinander verschiedene Punkte bestimmen stets eine und nur eine (Verbindungs-)Gerade, zwei voneinander verschiedene Geraden bestimmen stets einen und nur einen (Schnitt-)Punkt.

Die Achsensysteme mögen zweitens denselben Anfangspunkt haben; die x y-Achsen seien rechtwinklig, während die x' y'-Achsen beliebig bleiben (Fig. 23). Ein Punkt P habe im ersten System die Koordinaten x, y, im zweiten die Koordinaten x', y' *. Dann sind x, y die senkrechten Projektionen von OP auf die x-und die y-Achse und daher (S. 7) gleich den senkrechten Projektionen des Streckenzuges 0 Q' P; für die Projektion auf jede der beiden Achsen ist also Il(OP) = Il(OQ') (12) * + Il(Q' P). Es wird kein Mißverständnis verursachen, wenn in den obigen Formeln x, y, x', y' einmal als Koordinaten, einmal als Zeichen für die Achsenrichtungen auftreten.