By Dr. Phil. Adolf Fraenkel (auth.)
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2 Vgl. z. B. WEBER-EpSTEIN [IJ, S. 368. Für den geübteren Leser sei der Beweis ganz kurz dargestellt: Bezeichnet man das Polynom auf der linken Seite von (1) mit f(x) und ist 1'1 eine reelle Wurzel von (1), so ergibt die Division von f(x) durch X - I ' I : wo die Zahl 51 gleich 0 sein muß, wie die Prüfung für x sprechende 'Wiederholung findet man die Zerlegung: = 1'1 ergibt; durch ent- fix) = (x - 1'1) (x - 1'2) ••• (x - 1'k) fk(x) , wo k;;S n ist und. fk(x) ein Polynom ohne reelle Nullstellen (eventuell eine Konstante) bedeutet.
H. 2 wird die erste, 4 die zweite Zahl von N usw. Es ist also zunächst iede unendliche Teilmenge der Menge aller natürlichen Zahlen abzählbar. Bei diesem Beweis haben wir lediglich die Abzählbarkeit der Menge der natürlichen Zahlen benutzt, nicht etwa eine weitere Eigenschaft, die in der Natur der Elemente (nämlich der Zahlen) begründet wäre. 1 Zuweilen werden auch die endlichen Mengen als abzählbar bezeichnet und es wird dann im Gegensatz zu ihnen von "abzählbar unendlichen" Mengen gesprochen.
A 1 1 2x2 + alx + a o = 0, 1 Wir haben in diesem Buch niemals Anlaß, uns mit imaginären oder komplexen Zahlen zu befassen, und werden daher von der hervorhebenden Bezeichnung "reell" in der Regel absehen. 2 Vgl. z. B. WEBER-EpSTEIN [IJ, S. 368. Für den geübteren Leser sei der Beweis ganz kurz dargestellt: Bezeichnet man das Polynom auf der linken Seite von (1) mit f(x) und ist 1'1 eine reelle Wurzel von (1), so ergibt die Division von f(x) durch X - I ' I : wo die Zahl 51 gleich 0 sein muß, wie die Prüfung für x sprechende 'Wiederholung findet man die Zerlegung: = 1'1 ergibt; durch ent- fix) = (x - 1'1) (x - 1'2) ••• (x - 1'k) fk(x) , wo k;;S n ist und.